1.3.1 同値関係

集合$X$に対し関係（relation）$\sim$が定義されているとは、$X$の2元$x,y$に対し$x\sim y$であるか $x\not\sim y$のいずれか一方のみが成立している場合をいいます。$x\sim y$のとき$x$と$y$は関係がある、 $x\not\sim y$のとき$x$と$y$は関係がないといいます。
つまり、$X$の2元$x,y$をとると必ず「関係がある」または「関係がない」のいずれかになる場合に関係が定義されているといいます。

定義 1.3.1
集合$X$に定義されている関係$\sim$が次の条件を満たすとき関係$\sim$は同値関係（equivalence relation）であるという。
（1）（反射律）$X$の任意の元$x$に対し$x\sim x$
（2）（対称律）$X$の元$x,y$に対し$x\sim y$のとき、$y\sim x$
（3）（推移律）$X$の元$x,y,z$に対し $x\sim y,y\sim z$のとき、$x\sim z$

そして、$X$の同値関係$\sim$に対し、$x\sim y$であるとき$x$と$y$は同値（equivalent)であるという。

同値関係とは、等号$=$の関係を一般化したものです。

例 1.3.2 (曜日)
集合$X$として年月日からなる集合を考えます。$X$の元$x,y$に対し$x,y$の曜日が等しいとき$x\sim y$とし$x,y$の曜日か異なるとき $x\not\sim y$と定義すると、$\sim$は同値関係になります。このことを確かめてみましょう。

$x$を年月日とすると$x$と$x$の曜日が等しいのは明らかですので$x\sim x$です。また、$x$と$y$の曜日が等しいとき$y$と$x$の曜日が等しいのも明らかですので推移律も成り立ちます。$x$と$y$の曜日が等しく、$y$と$z$の曜日が等しい場合、$x$と$z$の曜日は等しいですので推移律も成り立ちます。よって、日付に対し曜日関係は同値関係になります。

例 1.3.3
集合$X$として整数全体からなる集合 $\mathbb{Z}$をとり、自然数$n$を固定します。 $\mathbb{Z}$の元$x,y$に対し$x$と$y$をそれぞれ$n$で割った余りが等しいとき$x\sim y$とし、$n$を法とする合同関係といいます。すると、$\sim$は同値関係になります。

$$x\sim y \Longleftrightarrow x\equiv y \pmod{n}$$

例 1.3.4
同値関係とならない関係をみてみましょう。
整数$n,m$に対し、$n\leqq m$のとき$n\sim m$と定義しましょう。すると、2つの整数は$n\leqq m$か$n > m$のいずれかであるため、$\sim$は関係となります。そして、反射律と推移律は成り立ちます。しかし、$x\leqq y$のとき$y\leqq x$とは限りませんので対称律は成り立ちません。したがって、関係$\sim$は同値関係ではありません。