1.3.3 商集合

集合$X$に同値関係$\sim$が定義されているとき、前講より集合$X$は完全代表系の元による同値類$[r]$の直和で表されることがわかります。

定義 1.3.12
集合$X$に同値関係$\sim$が定義されているとき、同値類全体からなる集合を同値関係$\sim$による商集合（quotient set）といい、 $X\big/\hspace{-1mm}\sim$と記載します。つまり、

$$X\big/\hspace{-1mm}\sim =\{ [x] \vert x\in X \}$$

ここで、商集合は同値類からなる集合であるため、元の集合$X$とは階層が異なることに注意しましょう。商集合 $X\big/\hspace{-1mm}\sim$は$X$の元を同値関係$\sim$で分類した分類を要素とする集合です。このことを例を使ってみていきましょう。

例 1.3.13
例1.3.10のように、年月日からなる集合$X$に曜日による同値関係$\sim$が定義されます。このとき、日曜日の集合を$A_1$月曜日の集合を$A_2$・・・、 土曜日の集合を$A_7$とすると、 $A_1,\cdots,A_7$が全ての同値類ですので商集合 $X\big/\hspace{-1mm}\sim$は $X\big/\hspace{-1mm}\sim=\{ A_1,A_2,\cdots,A_7 \}$となります。

例 1.3.14 ($\pmod {n}$)
例のように，自然数$n$を固定すると整数 $\mathbb{Z}$には同値関係$\pmod n$が定義されます。任意の整数は自然数$n$で割ると余りは0以上$n-1$以下の整数になります。したがって， $\mathbb{Z}\big/\hspace{-1mm}\sim$は、 $\{[0],[1],\cdot,[n-1]\}$であることが分かります。

つまり、商集合とは同値類[a]を抽象化したものと考えられます。たとえば「2012年1月1日と同じ曜日の集合」を考えるよりも端的に「月曜日」を考えた方が効率的です。