2. 初等整数論（入門編）

「初等整数論（入門編）」では、初等整数論のうち平方剰余の相互法則をまでを扱います。

素数$p$を法とする合同式のうち1次式 $ax\equiv b \pmod p$は（$a\equiv 0$の場合を除き）は必ず解があります（定理2.4.18）。また、2つの素数$p,q$に対する連立方程式

$$x \equiv a \pmod p$$

$$x \equiv b \pmod q$$

も必ず解があります（中国剰余定理)。このことは、$mod p$の世界と$\mod q$の世界は、一次式を考える限り完全に独立であること、 つまり、一方の世界における解の有無が他方の世界における解の有無に影響しないことを意味しています。

2次方程式ではどうでしょうか。2次合同式 $x^2\equiv a\pmod p$は常に解を持つとは限りません。$p$を固定し$a$を動かすと（$a\equiv 0$の場合を除くと）2分の1で解を持つことになります。これは、$mod p$における原始根の存在、つまり $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$が巡回群であることより簡単に導けることです。

具体的に$p=5$として$\mod 5$で考えます。 すると、

$$x^2 \equiv 1 \pmod 5 \Rightarrow 解有り$$

$$x^2 \equiv 2 \pmod 5 \Rightarrow 解無し$$

$$x^2 \equiv 3 \pmod 5 \Rightarrow 解無し$$

$$x^2 \equiv 4 \pmod 5 \Rightarrow 解有り$$

となり、半分で解が有り、半分で解がないことが分かります。

それでは、 $x^2\equiv q \mod p$の$q$を固定して$p$を動かしたらどうなるでしょうか。

具体的に$q=5$とし$p$を素数で動かしてみましょう（$p=5$の場合 $x^2\equiv 0\pmod 5$という自明な方程式になってしまうため省略します。）

$$x^2 \equiv 5 \pmod 3 \Rightarrow 解無し$$

$$x^2 \equiv 5 \pmod 7 \Rightarrow 解無し$$

$$x^2 \equiv 5 \pmod{11} \Rightarrow 解有り$$

$$x^2 \equiv 5 \pmod{13} \Rightarrow 解無し$$

$$x^2 \equiv 5 \pmod{17} \Rightarrow 解無し$$

$$x^2 \equiv 5 \pmod{19} \Rightarrow 解有り$$

となります。何か法則があるでしょうか?実は、 $x^2\equiv 5\mod p$が解があるか否かと $x^2\equiv p\mod 5$があるか否かと密接に関連しています。つまり、 $x^2\equiv q \mod p$と $x^2\equiv p \mod q$の解の有無は密接に関連しているのです。実際上の式の$p$と$q$を入れ替えると、

$$x^2 \equiv 3 \pmod 5 \Rightarrow 解無し$$

$$x^2 \equiv 7 \equiv2\pmod 5 \Rightarrow 解無し$$

$$x^2 \equiv 11 \equiv1\pmod 5 \Rightarrow 解有り$$

$$x^2 \equiv 13 \equiv3\pmod 5 \Rightarrow 解無し$$

$$x^2 \equiv 17 \equiv2\pmod 5 \Rightarrow 解無し$$

$$x^2 \equiv 19 \equiv4\pmod 5 \Rightarrow 解有り$$

となりますがこの解の有無は、 $x^2\equiv 5 \pmod p$の解の有無と一致していることが分かります。

表: $x^2\equiv 5 \pmod p$と $x^2\equiv p \pmod 5$

この例では $x^2\equiv q \mod p$の解の有無と $x^2\equiv p \mod q$の解の有無が一致していましたが、常に一致するわけではありません。

$q=7$で確かめてみましょう。

表: $x^2\equiv 7\pmod p$と $x^2\equiv p \pmod 7$

うえの表から、 $x^2\equiv q \mod p$の解の有無と $x^2\equiv p \mod q$の解の有無が必ず一致するわけではないことが分かります。では、どのような場合に一致してどのような場合に一致しないのか、これを完全に決定するのが平方剰余の相互法則です。上の表から、 $p\equiv 1\pmod 4$のとき、 $x^2\equiv 7\pmod p$と $x^2\equiv p \pmod 7$の解の有無は一致し、 $p\equiv 3\pmod 4$のとき、 $x^2\equiv 7\pmod p$と $x^2\equiv p \pmod 7$の解の有無は異なります。

これを一般的にすると、2つの奇素数$p,q$の両方が$\mod 4$で$3$のとき、2つの合同式 $x^2\equiv q \mod p$, $x^2\equiv p \mod q$の解の有無は異なり、それ以外の場合（つまり、$p,q$のうちどちらか一方が、$4$で割って$1$を余る場合、または両方が$4$で割って$1$余る場合）は、2つの合同式 $x^2\equiv q \mod p$, $x^2\equiv p \mod q$の解の有無は一致します。

これが、平方剰余の相互法則の内容です。平方剰余の相互法則は、第一補充法則、第二補充法則と併せることにより2次合同式の解の有無を完全に決定することができます。

それでは3次式でも同様のことが成り立つのでしょうか。つまり、方程式 $x^3\equiv q \mod p$の解の有無と方程式 $x^3\equiv p \mod q$の解の有無に何らかの関連はあるのでしょうか。これらの法定式の解の有無の単純な法則はありません。しかし、この方程式を $\mathbb{Q}(\omega),\omega^2+\omega+1=0$上で考えることで平方剰余の相互法則と同様の美しい法則が成り立ちます。 4次式でも $\mathbb{Q}(i)$上で考えることにより平方剰余の相互法則と同様の美し法則が成立します。

これを一般化したのが類体論です。平方剰余の相互法則を単純化すると $x^2\equiv q \pmod p$の解の有無が$p\pmod q$で決定されるというものですが、これを一般化するとある特別な合同式 $f(x)\equiv0 \pmod p$の解の有無が、方程式$f$で決まる$p$が存在して$q\pmod p$で決まる。とうのが類体論をかみ砕いたものです。

本HPの目標は類体論の理解ですが、本章ではその前提として、円分方程式や平方剰余の相互法則を学びます。