2.5.5 平方剰余の相互法則の証明

平方剰余の相互法則の証明は、前講の第2補充法則の証明と全く同様です。

有限体上のガウス和を考えましょう。具体的には、有限体 $\mathbb{F}_q$($q$は奇素数)のガウス和 $G=\sum^{n-1}_{k=1}{k\overwithdelims () p}r^k$を考えます。 また、 $p^*=(-1)^{\frac{p-1}{2}}p$とおきます。すると、$G^2=p^*$が、 $\mathbb{F}_{q^n}$上で成立しています。

$$p^* がqを法として平方剰余 \Longleftrightarrow G\in \mathbb{F} _q$$

$$\Longleftrightarrow G^q=G$$

$$\Longleftrightarrow G_q=G$$

$$\Longleftrightarrow {q\overwithdelims () p}G=G$$

$$\Longleftrightarrow {q\overwithdelims () p}=1$$

他方、

$$p^* がqを法として平方剰余 \Longleftrightarrow {p^* \overwithdelims () q}=1$$

$$\Longleftrightarrow (-1)^{{\frac{q-1}{2}}\frac{p-1}{2}}{p \overwithdelims () q}=1$$

以上より、 ${q \overwithdelims () p}{p \overwithdelims () q}= (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$となり、証明ができました。

Remark 2.5.14
ガロア対応の知識を用いると更に見えてくるものがあります。

$\mathbb{Q}$ 上の円分拡大体 $\mathbb{Q}(\zeta_p)$は、ガロア拡大であり、ガロア群 $Gal(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q})$は、 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$と同型で、その同型対応は、

$$(\mathbb{Z}/p \mathbb{Z})^{\times}\ni k \leftrightarrow (\zeta_p \rightarrow \zeta_p^k)\in Gal(\mathbb{Q}(\zeta_p) /\mathbb{Q})$$

で与えられ、この同型対応は、原始根$\zeta_p$の取り方に依存せずきまる、自然な同型です。

そして、 $Gal(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q})$は巡回群ですので$n\vert p-1$のとき位数$n$の部分群がただ一つ存在しますのでそのような部分郡を$H_n$とすると、部分体 $\mathbb{Q}(\sqrt{p^*})$は、ガロア群の指数2の部分群 $=\{平方剰余\}\subset (\mathbb{Z}/p \mathbb{Z})^{\times}$に対応します。

$$\xymatrix{ \mathbb{Q}(\zeta_p) \ar@{-}[d] & \{ 1\} \ar@{-}[d] & ... ...a_p)/\mathbb{Q}) &(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}\ar@{}[l]\vert{\cong} \ }$$

そして、ここからが、類体論的な事象ですが、円分体論より、上記の自然の同型対応は、アルティン写像$Art(r)$となります。アルティン写像の性質より、$q$を$p$と異なる素数とするとき $Art(q)=1\Longleftrightarrow$ 拡大体 $\mathrm{K}$の定義多項式が法$q$で完全分解するが成り立ちます。（まさにこれが類体論です！）