2.5.4 第2補充法則の証明

第2補充法則の証明をしましょう。第2補充法則は、素数$p$を法とするとき、$2$が平方剰余か非剰余か判定するものです。つまり、 $x^2\equiv 2\pmod p$が解を持つか持たないかを判定するものです。

ここで、1の原始8乗根の1つとして $\zeta_8=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{-2}}{2}$を考えましょう。（ガウス平面で考えると、） $\zeta_8^7=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{-2}}{2}$であることが分かります。したがって、 $\zeta_8+\zeta_8^7=\sqrt 2$です。つまり、 $\zeta_8+\zeta_8^7$は、$x^2=2$の解です。

これと同様のことを有限体上 $\mathbb{F}_p$上で考えてみましょう。十分大きな$n$をとれば、$8\vert p^n-1$とできますので、 $\mathbb{F}_{p^n}$上の元で位数8の元を$r$としましょう。(この様な元があることは、章参照。)

すると、 $(r+r^7)^2=r^2+2r^8+r^{14}=r^2+2+r^6=2$です。(なぜなら、$r$は、位数8の元ですので$r^4=-1$です。)なお、ここで等号は、すべて、 $\mathbb{F}_{p^n}$で考えています。

つまり、 $r+r^7(=r-r^3)$は、方程式$x^2=2$の解であることが分かります。したがって、

$$2が平方剰余 \Longleftrightarrow r-r^3\in \mathbb{F} _p$$

$$\Longleftrightarrow (r-r^3)^p=r-r^3$$

$$\Longleftrightarrow r^p-r^{3p}=r-r^3$$

$$\Longleftrightarrow p = 1,5 \mod 8$$

$$\Longleftrightarrow (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}=1$$

これで、第2補充法則の証明ができました。