3.2.4 ガウス整数

$i$を虚数単位（つまり、$i^2=-1$となる数のうちの一方）としたとき、整数$n,m$に対し$n+mi$をガウス整数（Gaussian integer）といます。ガウス整数全体からなる集合を $\mathbb{Z}[i]$と記載します。つまり、

$$\mathbb{Z}[i]=\{n+mi\vert n,m\in Z\}$$

命題 3.2.16
$\mathbb{Z}[i]$は、環となる。 $\mathbb{Z}[i]$をガウス整数環という。

ガウス整数はの最も簡単な例です。

ガウス整数 $\mathbb{Z}[i]$から0以上の整数 $\mathbb{Z}_{+}$への関数$N$を

$$\begin{array}{rccc} N : & \mathbb{Z}[i] & \longrightarrow & \mat... ... & \rotatebox{90}{$\in$}\\ [-4pt] & n+mi & \longmapsto & n^2+m^2 \end{array}$$

で定義すると、$N$は複素平面における原点$(0,0)$とガウス整数$(n,m)$との距離を意味しています。このことから、2つのガウス整数を $z_1=n_1+m_1i,z_2=n_2+m_2i$とおくと、 $N(z_1z_2)=N(z_1)N(z_2)$となることが分かります。$N$をガウス整数のノルム（norm）といいます。ノルムは代数的数に対し定義される、整数論において重要な関すです。ここでは、ノルムを使ってガウス整数の可逆元を調べてみましょう。

命題 3.2.17
ガウス整数の可逆元は $\pm 1, \pm i$のみであり、つまり $(\mathbb{Z}[i])^{\times}=\{\pm1,\pm i\}$であり、 $(\mathbb{Z}[i])^{\times}\cong\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$である。

証明
ガウス整数$z_1$が可逆元であるとすると、$z_1z_2=1$となるガウス整数$z_2$が存在する。両辺のノルムをとると $N(z_1z_2)=N(z_1)N(z_2)=1$となりますが、 $N(z_1),N(z_2)$は0以上の整数であることより、 $N(z_1)=\pm1$と分かる。つまり、 $z_1=n_1+m_1i$とすると、 $n_1^2+m_1^2=1$であるが、 $n_1,m_1\in \mathbb{Z}$より、 $(n_1,m_1)=(\pm1,0),(0,\pm)$と分かる。よって、 $(\mathbb{Z}[i])^{\times}=\{\pm1,\pm i\}$である。
また、$i^2=-1$,$i^3=-i$,$i^4=1$であることより、 $(\mathbb{Z}[i])^{\times}$は$i$を生成元とする位数4の巡回群であることが分かり、したがって、 $(\mathbb{Z}[i])^{\times}\cong\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$である。