3.2.3 環の準同型

2つの群の間の準同型写像が定義され、また、2つの群の間の同型が定義されたように環の準同型・同型が定義できます。

定義 3.2.13
$R,H$を2つの環とする。$R$から$H$への写像 $f:R\longrightarrow H$が任意の $r_1,r_2\in R$に対し次の条件を満たすとき、$f$は準同型写像（homomorphism）であるという。
（1） $f(r_1+r_2)=f(r_1)+f(r_2)$
（2） $f(r_1r_2)=f(r_1)f(r_2)$
（3） $f(1_R)=1_H$

条件（1）（2）は、環の演算（$+,\cdot$）が写像$f$によって保たれていることを意味します。また、環の元は乗法に関する逆元が存在するとは限らないため条件（3）が必要となります。

群と同様、準同型定理が成り立ちます。

命題 3.2.14
$f$を環$R$から環$H$への準同型写像とする。このとき、
（1） $\mathrm{Ker}f$は$R$のイデアルとなる。
（2） $\mathrm{Im}f$は$H$の演算により環となる。

定理 3.2.15 (準同型定理)
$f$を環$R$から環$H$への準同型写像とする。準同型写像 $\pi:R\longrightarrow E/\mathrm{Ker}f$及び $\overline{f}:\overline{f}:R/\mathrm{Ker}f\longrightarrow H$に対し $f=\overline{f}\circ\pi$が成り立つ。つまり、次が可換図式となる。

$$\xymatrix{ R \ar@{->}[r]^{f}\ar@{->}[d]_{\pi}\ar@{}[dr]_(0.3)\circlearrowleft & H \\ R/\mathrm{Ker}f \ar@{->}[ru]_{\overline{f}} & \\ }$$

また $\overline{f}$を $R/\mathrm{Ker}f$から $\mathrm{Im}H$への写像と考えると同型写像となる。

$$\overline{f}:R/\mathrm{Ker}f\cong\mathrm{Im}H$$