2.2.3 多項式の除法の原理

整数におけるユークリッドの互除法でポイントとなった性質は除法の原理（商と余りの関係）です。これが、多項式の世界でも成り立つことを確かめましょう。

定理 2.2.11 (多項式の除法の原理)
$\mathrm{K}$を $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$とする $f(\mathrm{X}),g(\mathrm{X})\in \mathrm{K}[\mathrm{X}]$を0でない $\mathrm{K}$係数多項式とするこのとき、 $\mathrm{K}$係数多項式 $q(\mathrm{X}),r(\mathrm{X})\in \mathrm{K}[\mathrm{X}]$が存在して、

$$f(\mathrm{X})=q(\mathrm{X})g(\mathrm{X})+r(\mathrm{X}), \deg (g)>\deg (r)$$

とできる。

ポイントは、 $\deg (g)>\deg (r)$とできるところです。整数でも同じ不等式が成り立っていましたね。

証明は、$f$を$g$で割った商を$q$、余りを$r$とすることにより可能ですが、ここでは省略します。

例 2.2.12
$f(\mathrm{X})=\mathrm{X}^2+\mathrm{X}+1,g(\mathrm{X})=\mathrm{X}+1$とする。
$f$を$g$で割った商は $\mathrm{X}$、余りは$1$である。 したがって、
$\mathrm{X}^2+\mathrm{X}+1=\mathrm{X}(\mathrm{X}+1)+1$

Remark 2.2.13
除法の原理が成り立つ整域をユークリッド整域といいます。ユークリッド整域では、素因数分解の一意性が成立します。