2.2.5 最大公約式の生成

$\mathrm{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$とします。（一般的には $\mathrm{K}$が体であれば成立します。） $\mathrm{K}$係数多項式においても、除法の原理が成り立ちますので、それにより、最大公約式をユークリッドの互除法により求めることができます。（前講参照参照）これにより、整数の場合と同様に、多項式の世界でも最大公約式を生成することができます。

定理 2.2.16 (最大公約式の生成定理)
以下、多項式とは $\mathrm{K}[\mathrm{X}]$の元とする。
（1） 多項式 $f(\mathrm{X}),g(\mathrm{X})$の最大公約式（の1つ）を $d(\mathrm{X})$とすると、 $a(\mathrm{X})f(\mathrm{X})+b(\mathrm{X})g(\mathrm{X})=d(\mathrm{X})$となるような多項式 $a(\mathrm{X}),b(\mathrm{X})$が存在する。
（2） $A$を $f(\mathrm{X})$の倍数多項式全体の集合、$B$を $g(\mathrm{X})$の倍数多項式全体の集合とするとき、$A+B$は、 $d(\mathrm{X})$の倍数多項式全体の集合となる。
（3） $f(\mathrm{X}),g(\mathrm{X})$が互いに素　 $\Longleftrightarrow$ $a(\mathrm{X})f(\mathrm{X})+b(\mathrm{X})g(\mathrm{X})=1$となるような多項式 $a(\mathrm{X}),b(\mathrm{X})$が存在する。

ここで、$A+B$とは、 $\{h_1(\mathrm{X})+h_2(\mathrm{X}) \vert h_1(\mathrm{X})\in A,h_2(\mathrm{X})\in B \}$を意味しています。

証明
（1）ユークリッドの互除法により最大公約式を求めることができますが、ユークリッドの互除法によって、出現する$(f_1,g_1)$は $a(\mathrm{X})f(\mathrm{X})+b(\mathrm{X})g(\mathrm{X})$の形である。したがって、 $d(\mathrm{X})=a(\mathrm{X})f(\mathrm{X})+b(\mathrm{X})g(\mathrm{X})$とできる。
（2）（3）は、（1）より導ける。