2.2.6 多項式環のイデアル

$\mathrm{K}$を $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$または $\mathbb{C}$とします。（この項では、 $\mathbb{Z}$も許容されることに留意。） $\mathrm{K}$係数多項式全体からなる集合 $\mathrm{K}[\mathrm{X}]$は可換環となるため、定義2.1.20と同様に $\mathrm{K}[\mathrm{X}]$のイデアルが定義できます。

定義 2.2.17
$\mathrm{K}[\mathrm{X}]$の部分集合 ${\mathrm I}$で次の性質を持つものを $\mathrm{K}[\mathrm{X}]$のイデアル(ideal)であるという。

1. $f\in {\mathrm I},g\in \mathrm{K}[\mathrm{X}]\Rightarrow gf\in {\mathrm I}$
2. $f,g\in {\mathrm I} \Rightarrow f+g\in {\mathrm I}$

整数のイデアルと同様に $f_1,f_2,\cdots,f_k\in \mathrm{K}[\mathrm{X}]$に対し、 $(f_1,f_2,\cdots,f_k)$を、

$$(f_1,f_2,\cdots,f_k)=\{a_1f_1+a_2f_2+\cdots+a_kf_\mathrm{K} \vert a_1,a_2,\cdots,a_k\in \mathrm{K}[\mathrm{X}] \}$$

と定義します。
すると、整数イデアルに関する場合と同様に、 $(f_1,f_2,\cdots,f_k)$はイデアルになります。
そして、整数イデアルの場合と同様に、有限生成イデアル、単項イデアルが定義され次の定理がなりたちます。

定理 2.2.18
$\mathrm{K}$を $\mathbb{Q},\mathbb{R}$または $\mathbb{C}$とする。
$f_1,f_2,\cdots,f_k$の最大公約式を$d$とすると、 $(f_1,f_2,\cdots,f_k)=(d)=\{ kd \vert k\in \mathrm{K}\}$
また、 $\mathrm{K}[\mathrm{X}]$の任意のイデアル ${\mathrm I}$に対し整数$f$が存在し、 ${\mathrm I}$は$f$から生成される。この場合、 ${\mathrm I}$の生成元は $kf(k\in \mathrm{K})$に限る。