2.3.2 1のn乗根

$\mathrm {X}^n-1$の因数分解を考えるまえに $\mathrm{X}^n-1=0$ の解について考えてみましょう。

命題2.3.2より $\mathrm{X}^n-1=(\mathrm{X}-1)(\mathrm{X}^{n-1}+\mathrm{X}^{n-2}+\cdots+\mathrm{X}+1)$ですのでの解の1つは1となります。 $(\mathrm{X}^{n-1}+\mathrm{X}^{n-2}+\cdots+\mathrm{X}+1)=0$の解は、補題2.2.28より整数解の可能性があるのは$\pm 1$に限りますが、$\pm 1$は整数解ではありませんので、整数解はありません。（したがって、定理より有理数解がないことが分かります。）

$\mathrm{X}^n-1=0$の解を$\alpha$とすると $\alpha^n=1$ですので、$n$乗して1になる数、つまり、1の$n$乗根です。 $\mathrm{X}^n-1=0$は$n$次式ですので複素数上解は$n$個あります。

Remark 2.3.3
$f(\mathrm{X})=\mathrm{X}^n-1$とおくと、 $f'(\mathrm{X})=n\mathrm{X}^{n-1}$で、 $f(\mathrm{X})$と $f'(\mathrm{X})$との共通根はありませんので、 $f(\mathrm{X})$は重解を持たないことが分かります。したがって、 $\mathrm{X}^n-1=0$の解は複素数上、$n$個あることが分かります。

$n$が小さいときに、1の$n$乗根を具体的に求めてみましょう。

• $n=2$のとき
  $\mathrm{X}^2-1$の解は、 $\mathrm{X}=\pm 1$です。

• $n=3$のとき
  $\mathrm{X}^3-1=0$の解は、 $\mathrm{X}=1,\cfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$です。

• $n=4$のとき
  $\mathrm{X}^4-1=0$の解は、 $\mathrm{X}=\pm 1,\pm i$です。

• $n=5$のとき
  $n=5$のときは、 $\mathrm{X}^5-1=(\mathrm{X}-1)(\mathrm{X}^4+\mathrm{X}^3+\mathrm{X}^2+\mathrm{X}+1)$ですので、 $\mathrm{X}^4+\mathrm{X}^3+\mathrm{X}^2+\mathrm{X}+1=0$を解くためにテクニックが必要です。このテクニックは、まれに大学受験のテクニックにも用いられますのでご存じの方もいると思います。 $\mathrm{X}≠0ですので\mathrm{X}^2$で割ってみましょう。すると

  $$\mathrm{X}^2+\mathrm{X}+1+\cfrac{1}{\mathrm{X}}+\cfrac{1}{\mathrm{X}^2}=0$$

  
  
  となります。ここからがテクニックですが、 $(\mathrm{X}+\cfrac{1}{\mathrm{X}})^2=\mathrm{X}^2+2+\cfrac{1}{\mathrm{X}^2}$ですので、 $\mathrm{X}^2+\cfrac{1}{\mathrm{X}^2}=(\mathrm{X}+\cfrac{1}{\mathrm{X}})^2-2$となります。これを、上の式に代入すると、

  $$(\mathrm{X}+\cfrac{1}{\mathrm{X}})^2+(\mathrm{X}+\cfrac{1}{\mathrm{X}})-1=0$$

  
  
  となります。 $z=\mathrm{X}+\cfrac{1}{\mathrm{X}}$とすると、

  $$z^2+z-1=0$$ (2.10)

  
  
  となり、zの2次方程式に還元できました。これを$z$について解くと $z=\cfrac{-1\pm \sqrt 5}{2}$となります。 $z=\mathrm{X}+\cfrac{1}{\mathrm{X}}$ですので、これを $\mathrm{X}$の方程式と考えると、 $\mathrm{X}^2-z\mathrm{X}+1=0$となり、これに $z=\cfrac{-1\pm \sqrt 5}{2}$を代入すると $\mathrm{X}$の2次方程式となりますので、これを解くと解 $\mathrm{X}$が求められます。これにより
  $$\mathrm{X}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}\pm\frac{\sqrt{-10\mp2\sqrt{5}}}{4}$$
  （最初の$\pm$と最後の$\mp$の符合は必ず反対。）となります。 このように、四次方程式が解けましたがここで注目すべきは、ルート（ $\sqrt{ })と+,-,\times,\div$の組み合わせで解が記載されている点です。これは、正五角形が作図可能であることと対応しています。

• $n=6$のとき $n=6$を考えてみましょう。
  $\mathrm{X}^6-1=(\mathrm{X}-1)(\mathrm{X}^2+\mathrm{X}+1)(\mathrm{X}+1)(\mathrm{X}^2-\mathrm{X}+1)$ですので、解は $\mathrm{X}=\pm 1, \cfrac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}, \cfrac{1\pm\sqrt{-3}}{2}$です。

• $n=7$のとき
  $n=7$のときも$n=5$の場合と同様に解けるでしょうか。$n=7$のときは、 $\mathrm{X}^6+\mathrm{X}^5+\mathrm{X}^4+\mathrm{X}^3+\mathrm{X}^2+\mathrm{X}+1=0$を解く必要がありますが、$n=5$の場合のテクニックが使えるでしょうか。$n=5$の場合を参考にして、 $\mathrm{X}^3$で割ってみます。すると、

  $$\mathrm{X}^3+\mathrm{X}^2+\mathrm{X}+1+\cfrac{1}{\mathrm{X}}+\cfrac{1}{\mathrm{X}^2}+\cfrac{1}{\mathrm{X}^3}=0$$ (2.11)

  
  
  となります。 ここで、 $(\mathrm{X}+\cfrac{1}{\mathrm{X}})^3=\mathrm{X}^3+3\mathrm{X}+3\cfrac{1}{\mathrm{X}}+\cfrac{1}{\mathrm{X}^3}$つまり、 $z^3-3z=\mathrm{X}^3+\cfrac{1}{\mathrm{X}^3}$であることに留意すると、円周等分方程式は $z^3-3z+z^2-2+1=0$つまり、 $z^3+z^2-3z-1=0$となります。この3次方程式は残念ながら整数解を持たないため、高校生の知識では残念ながら解くことはできません。しかし、3次方程式の解の公式としてカルダノの公式が知られていますので、これを用いて解くと、$z=cdots$となり、これを更に $\mathrm{X}$で解くことにより解が求められます。6つある解のうちの1つは
  $$\begin{multline*} \frac{1}{12}\left(-2+\sqrt[3]{28+84\sqrt{-3}}+\sqrt[3]{28+84\s... ...+4\sqrt[3]{28+84\sqrt{-3}}+\sqrt[3]{(28+84\sqrt{-3})^2}}\right) \end{multline*}$$
  
  
  です。このように、1の7乗根は、ルート( $$\sqrt{ })$$と $+,-,\times,\div$の組み合わせでは書くことができません。これは、正7角形が作図不可能であることと対応しています。

• $n=8$のときは
  $$\mathrm{X}=\pm 1, \pm i, \frac{\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{-2}}{2}$$