2.3.3 原始n乗根

$\mathrm{X}^n-1=0$の解は$n$個ありますが、このうち、$n$乗してはじめて1になるものを原始n乗根といいます。

例 2.3.4

• $n=2$のとき
  $\mathrm{X}^2-1=0$の解は、 $\mathrm{X}=\pm 1$でこのうち、$-1$が原始2乗根です。
• $n=3$のとき
  $\mathrm{X}^3-1=0$の解は、 $\mathrm{X}=1,\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$で、このうち $\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$の2つが原始3乗根です。
• $n=4$のとき
  $\mathrm{X}^4-1=0$の解は、 $\mathrm{X}=\pm 1,\pm i$で、このうち$\pm i$の2つが原始4乗根である。
• $n=5$のとき
  $\mathrm{X}^5-1=0$の解は、 $\mathrm{X}=1,\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}\pm\frac{\sqrt{-10\mp2\sqrt{5}}}{4}$（最初の$\pm$と最後の$\mp$は常に反対の符合)であり、このうち1以外の4つが原始5乗根である。
• $n=6$のとき、
  $\mathrm{X}^6-1=0$の解は、 $\mathrm{X}=\pm 1, \cfrac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}, \cfrac{1\pm\sqrt{-3}}{2}$であり、このうち、 $\cfrac{1\pm\sqrt{-3}}{2}$の2つが原始6乗根である。

原始$n$乗根はいくつあるでしょうか？

1の$n$乗根は$n$個あります(Remark2.3.3参照)。ここで、1の$n$乗根$\alpha$が何乗して初めて1になるか考えてみましょう。このように、何乗して初めて1になる、何乗のことを、指数といいます。

定義 2.3.5
1の$n$乗根$\alpha$に対し、 $\alpha^r=1$となる最小の自然数$r$を指数という。

例 2.3.6
1は1の$n$乗根ですが、1の指数は1です。
$n$が偶数のとき、-1は1の$n$乗根になりますが、-1の指数は2です。

原始$n$乗根の定義より、

$$\alpha:原始n乗根 \Longleftrightarrow \alpha:指数がn$$

定理 2.3.7
1の$n$乗根$\alpha$の指数を$r$とすると、$r\mid n$である。

証明
$r$と$n$の最大公約数を$d$とすると、定理2.1.17より、$ar+bn=d$となる整数$a,b$が存在する。
すると、 $\alpha^d=\alpha^{ar+bn}=\alpha^{ar}\alpha^{bn}$であるが、$r$が指数であること、$\alpha$が1の$n$乗根であることより右辺は1である。したがって、 $\alpha^d=1$
ところが指数の定義より、$d=r$である。したがって、$r\vert n$

1の原始$n$乗根の1つを$\zeta$とおきます。1の原始$n$乗根は必ず存在します。

Remark 2.3.8
オイラーの公式より $\exp(2\pi i)=1$なので、 $\exp{\frac{2\pi i}{n}}$は1の$n$乗根であり、しかも原始$n$乗根となることが分かります。したがって、1の原始$n$乗根は存在します。

命題 2.3.9
（1）$i$を整数とすると $\zeta^i=1 \Longleftrightarrow n\vert i$
（2）$i,j$を整数とすると、 $\zeta^i=\zeta^j \Longleftrightarrow i\equiv j \pmod n$
（3）1の$n$乗根は、$\zeta^i$（$i$:整数）の形で表せる。

証明
（1）$\zeta^i=1$とする。$i$と$n$の最大公約数を$d$とすると定理2.1.17より、$ai+bn=d$となる整数$a,b$が存在する。
すると、 $\zeta^d=\zeta^{ai+bn}=\zeta^{ai}\zeta^{bn}$であるが、 $\zeta^i=1,\zeta^n=1$のため右辺は1である。したがって、$\zeta^d=1$
ところが$\zeta$は原始$n$条項であるため、$d=n$である。したがって、$n\vert i$

（2） $\zeta^i=\zeta^j\Longleftrightarrow\zeta^{i-j}=1\Longleftrightarrow n\vert i-j$

（3） $1,\zeta,\zeta^2,\zeta^3,\cdots,\zeta^{n-1}$は全て異なり$n$個存在するため、これらが1の$n$乗根の全てである。

1の$n$乗根は$\zeta^i$の形で表されますので、このうちどのようなものが原始$n$乗根になるのか考えてみましょう。

定理 2.3.10
1の原始$n$乗根の1つを$\zeta$とおく。
整数$m$に対し$\zeta^m$の指数は、 $\frac{n}{\gcd(n,m)}$ である。特に、

$$\zeta^mは1の原始n乗根 \Longleftrightarrow nとmは互いに素$$

証明
$d=\gcd(n,m),n'=n/d,m'=n/d$とおく。また、$\zeta^m$の指数を$r$とする。
すると$r$は $\zeta^{mr}=1$を満たす最小の自然数である。これは、$\zeta$が原始$n$乗根であることより$n \vert mr$を満たす最小の自然数と同値である。
$n'\vert m'r$となる最小の自然数と同値であるが、$n'$と$m'$は互いに素であるため、このような最小の$r$は$n'$である。

この定理により1の原始$n$乗根の個数は、1から$n$までの自然数のうち$n$と互いに素なもの個数と等しいことが分かります。1から$n$までの自然数のうち$n$と互いに素なもの個数を$\phi (n)$で表しオイラー関数といいます。オイラー関数については、次講で詳しくみていきましょう。