3.1.1 演算

ここから演算が定義されている集合を考えます。例えば、有理数全体からなる集合 $\mathbb{Q}$や実数全体からなる集合 $\mathbb{R}$、複素数全体からなる集合 $\mathbb{C}$は、集合であるとともに、集合の中に加法・乗法という演算 $(+,\times)$が定義されています。 ここで、演算$*$が定義されているとは集合の2つの元$a,b$に対し$a*b$が一意に定まり再び同じ集合に含まれていることを意味します。ポイントは、�@全ての集合の元に対し演算が可能であること、�A演算の結果が再び同じ集合に含まれていることです。特に、�Aが満たされているときその集合は演算$*$に関し閉じているといます。

Remark 3.1.1
集合 $\mathrm{K}$に演算$*$が定義できるとは、 $\mathrm{K}\times\mathrm{K}$から $\mathrm{K}$への写像

$$\begin{array}{rccc} *:& \mathrm{K}\times\mathrm{K}& \longrig... ...in$} [-4pt] & (r_1,r_2) & \longmapsto & r_1*r_2 \end{array}$$

が定義されることと同値です。ここで、 $\mathrm{K}\times\mathrm{K}$とは、 $\mathrm{K}$と $\mathrm{K}$の直積集合を意味しています。

例えば、整数全体 $\mathbb{Z}$は、加法（$+$）に関し上の�@�Aの条件を満たしていますので加法（$+$）に関し閉じています。同様に乗法（$\times$）に関しても閉じていることが分かります。

これに対し、有理数 $\mathbb{Q}$に除法（$\div$）を考えると、$1\div 0$は定義できませんので�@を満たしません。したがって、有理数 $\mathbb{Q}$は除法（$\div$）が定義できません。これに対し、有理数から0を除いた集合 $\mathbb{Q}^{\times}=\mathbb{Q}-\{0\}$を考えると、�@全ての $\mathbb{Q}^{\times}$の元に対し$\div$を行うことは可能であり、�Aその結果再び $\mathbb{Q}^{\times}$の元となりますので、集合 $\mathbb{Q}^{\times}$に関しては除法（$\div$）は閉じています。 同様に、整数 $\mathbb{Z}$に対しとは整数にはなるとは限りませんので除法（$\div$)に関して定義されていません。