3.1.10 置換

有限群の重要な例として置換群があります。置換群はガロア理論を学ぶ上で必須のものです。この項では置換群をみていきましょう。

要素が$n$個ある集合$X$を考えます。$X$は要素の個数が$n$であればどのようなものでも構いませんが、ここでは、分かりやすさの観点から $X=\{1,2,\cdots,n-1,n\}$とおきましょう。$X$か$X$への全単写のことを$n$次の置換（permutation）といいます。 置換$\sigma$は、$X$から$X$への全単写ですので、$1$を$\sigma(1)$に写し、$2$を$\sigma(2)$に写し$\cdots$、$n$を$\sigma(n)$に写します。このとき、$\sigma$を記号で

$$\sigma={\small \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ \... ...a(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & \cdots & \sigma(n-1)& \sigma(n) \end{pmatrix} }$$

で表します。

置換$\sigma$は、全単射ですので、 $\sigma(1), \sigma(2) , \sigma(3) , \cdots , \sigma(n-1), \sigma(n)$は、$1$から$n$までの全ての数字が1回だけ必ず出てきます。

例 3.1.51
$n=2$としてみましょう。置換$\sigma$は、$X=\{1,2\}$から$X$への写像ですので、$1,2$の像が決まれば$\sigma$が決まります。そこで $\sigma(1)=1$とすると$\sigma$は全単射ですので $\sigma(2)=2$と決まります。つまり、 $\sigma= {\small \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} }$です。
また、 $\sigma(1)=2$とすると $\sigma(2)=1$と決まります。このとき、 $\sigma={\small \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}}$です。
以上より、$n=2$のときの置換は、 ${\small \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} }$と ${\small \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} }$の2つがあります。

例 3.1.52
$n=3$としてみましょう。置換$\sigma$は、 $X=\{1,2,3\}$から$X$への写像ですので、$1,2,3$の像を決定する必要があります。$n=2$のときと同様に考えると
${\small \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmat... ... 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} }$
の6個の置換があることが分かります。

$X$の恒等写像 $\mathrm{id}_X$は$X$の全単射ですので置換になります。 $\mathrm{id}_X$のことを恒等置換とよび単に $\mathrm{id}$と記載します。また、$X$の2元のみを交互に入れ替える置換のことを互換（transposition）といいます。$X$の2元を$i,j$とすると$i$を$j$に写し、$j$を$i$に写し、$i,j$以外はそのままとする写像のことです。$i,j$を入れ替える互換を$(i,j)$という記号で表します。
また、$X$の複数個の元を順繰りに置き換える置換を巡回置換（cycle）といいます（次の例を参照）。互換も巡回置換の1つです。

例 3.1.53
$n=2$の場合、 $\sigma={\small \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}}$は、1と2を入れ替えていますので互換であり、$(1 2)$と表します。

例 3.1.54
$n=3$のとき ${\small \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} }$は、2と3を入れ替える互換であり、$(2 3)$と表します。
同様に、 ${\small \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} }$は、$(1 2)$と表し、 ${\small \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}}$は、$(1 3)$と表し

また、 ${\small \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}}$ は、 $1\rightarrow 2,2\rightarrow 3,3\rightarrow1$と順繰りに移動させる置換ですので、巡回置換であり$(1 2 3)$と表します。 同様に ${\small \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}}$ は、$(1 3 2)$と表します。（なお、$(3 2 1)$とも$(2 1 3)$とも記載できますがこれらは全て同じ置換です。）

このように、2次置換の2つは、 $\mathrm{id},(1 2)$と表され、3次の置換6つは、 $\mathrm{id},(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)$と表され、これらはすべて巡回置換です（ $\mathrm{id}$も$X$の0個の元の巡回置換と考えられます。）。一方、$n>3$のときは全ての置換が巡回置換となるわけではありません。

例 3.1.55
$n=4$のとき、置換 ${\small \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} }$ は、巡回置換ではありません。