3.1.11 対称群

$n$次の置換 $\sigma_1,\sigma_2$は、$X$から$X$への写像であるため、合成 $\sigma_1\circ\sigma_2$を考えることができ、合成も$X$から$X$への写像となります。また、 $\sigma_1,\sigma_2$は全単写であるためその合成も全単写となります。よって、置換の合成も$n$次の置換となります。置換の合成では$\circ$を省略し $\sigma_1\sigma_2$と記載します。

例 3.1.56
$n=2$の置換は $\mathrm{id},\sigma=(1 2)$ の2つですが、 $\mathrm{id}$は恒等写像のため $\mathrm{id}\sigma=\sigma\mathrm{id}=\sigma$です。
また、 $(1 2) (1 2)=\mathrm{id}$です。

この例のように互換$(i j)$は$i,j$を互いに入れ替えるますので、同じ互換を合成すると元に戻りますので、 $(i j)(i j)=\mathrm{id}$です。

例 3.1.57
$(1 2 3)(1 2 3)=(1 3 2)$です。
$(1 2 3)(1 3 2)=\mathrm{id}$です。

例 3.1.58
$\sigma_1={\small \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatr... ...gma_2={\small \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}}$ とし、 $\sigma_1\sigma_2$を考えましょう。
ここで、$\sigma_1$を先に作用させるのか、$\sigma_2$を先に作用させるのかで結論が変わってきますが、本HPでは、写像の合成と同様に先に$\sigma_2$を作用させると約束します。すると、 $\sigma_2(1)=2,\sigma_1(2)=3$なので $\sigma_1\sigma_2$は$1$を$3$に移します。同様に $\sigma_2(2)=1,\sigma_1(1)=2$なので$2$を$2$に移し、 $\sigma_2(3)=4,\sigma_1(4)=1$なので$3$を$1$に移し、 $\sigma_2(4)=3,\sigma_1(3)=4$なので$4$を$4$に移します。よって、

$$\sigma_1\sigma_2= {\small \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}}=(1 3)$$

です。

同様に、 $\sigma_2\sigma_1$を考えてみましょう。今度は、$\sigma_1$が先に作用します。すると、 $\sigma_1(1)=2,\sigma_2(2)=1$なので$1$を$1$に移し、 $\sigma_1(2)=3,\sigma_2(3)=4$なので$2$を$4$に移し、 $\sigma_1(3)=4,\sigma_2(4)=3$なので$3$を$3$に移し、 $\sigma_1(4)=1,\sigma_2(1)=2$なので$4$を$2$に移します。よって、

$$\sigma_2\sigma_1= {\small \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}}=(2 4)$$

です。

このように、 $\sigma_1\sigma_2$と $\sigma_2\sigma_1$は一般的には異なります。

定理 3.1.59
$n$次の置換全体の集合は写像の合成を演算とする群となる。

証明
演算がとじているのは上記のとおり。（条件0）
演算は写像の合成であり、写像の合成は結合法則がなりたっているため、結合法則も成り立つ。（条件1）
$X$の恒等写像 $\mathrm{id}_X$は$n$次の置換であり、 $\mathrm{id}\sigma=\sigma\mathrm{id}=\sigma$であるため単位元が存在する。(条件2）
また、逆写像が逆元になるため、逆元も存在する。(条件3）
よって、$n$次の置換全体は合成を演算とする群となる。

定義 3.1.60
$n$次の置換全体からなる群を$n$次対称群（symmetric group）といい$S_n$で表します。

$S_n$は上記例のとおり一般的にはアーベル群ではありません。対称群はアーベル群ではない有限群の中ではもっとも基本的な群です。

命題 3.1.61
$S_n$の位数は $n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot 1$である。

証明
置換$\sigma$は要素が$n$個の集合 $X=\{1,2,\cdots,n-1,n\}$のn個を1列に並べることと対応するので、その個数は順列 ${}_n\mathrm{P}_n=n!$である。

上の証明では順列 ${}_n\mathrm{P}_n$を使いましたが、順列になじみがない場合は、次のように考えることでも分かります。 $n$次の置換$\sigma$は$1$から$n$までの像、つまり$\sigma(1)$から$\sigma(n)$を特定することにより決まりますが、これを順にかんがえてみると、$\sigma(1)$は$1$から$n$までの$n$個が考えられ、$\sigma(1)$が特定されると、$\sigma(2)$は1から$n$までのうち$\sigma(1)$以外の$(n-1)$個が、 $\sigma(1),\sigma(2)$が特定されると$\sigma(3)$は1から$n$までのうちの、 $\sigma(1),\sigma(2)$以外の$(n-2)$個に特定され$\cdots$これを繰り返すことにより、全部で$n!$個と分かります。

$n$が小さいときの群構造をみていきましょう。

例 3.1.62 (2次対称群)
$S_2=\{\mathrm{id},(1 2)\}$です。これは、$(1 2)$を生成元とする位数2の巡回群ですので、 $S_2\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$です。なお、$S_2$の位数は2ですが、位数2の群は全て $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$と同型であるこからもこの結論は得られます。

例 3.1.63 (3次対称群)
$S_3$の位数は6であり、 $S_3=\{\mathrm{id},(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)\}$です。
そして、 $\sigma=(1 2 3),\tau=(1 2)$とおくと、循環置換の性質より $\sigma^3=\mathrm{id},\tau^2=\mathrm{id}$が分かります。（一般的に循環置換$\sigma$の長さを$m$とする$\sigma$の位数は$m$です。）

また、$\sigma$と$\tau$以外の元は、 $\sigma^2=(1 3 2),\sigma\tau=(1 3),\tau\sigma=(2 3)$と表されます。このように$\sigma$と$\tau$によって$S_3$の全ての元が表せるような場合、$S_3$は $\sigma,\tau$によって生成されるといいます。そして、 $\tau\sigma=(2 3)$ですので $(\tau\sigma)^2=id$となります。

詳細は触れませんが、$S_3$における群構造は、 $\sigma,\tau$で生成され、$\sigma$と$\tau$の間に $\sigma^3=\mathrm{id},\tau^2=\mathrm{id},(\tau\sigma)^2=id$という関係があることによってすべて分かります。このような関係のことを基本関係と呼びます。

$\sigma\tau\neq\tau\sigma$ですので$S_3$は非可換群です。また、$S_3$の元は$n\geqq3$の$S_n$の元と考えることができます（4以上の数は恒等置換であると考えることにより）ので、$n\geqq3$の$n$に対し$S_n$は非可換群であることが分かります。