3.1.9 準同型定理

定義 3.1.45
準同型 $f:G\longrightarrow H$に対し、$H$の単位元$e_H$の逆像 $f^{-1}(e_H)$を核（kernel）といい記号 $\mathrm{Ker}f$で表す。つまり、 $\mathrm{Ker}f=\{ g\in G \vert f(g)=e_H \}$

次の命題によりカーネル（日本語でも核よりカーネルと呼ぶ方が多いです）は$G$の部分群になります。カーネルは大変重要な部分群です。

また、準同型の像$f(G)$は $\mathrm{Im}f$と表します。具体的には $\mathrm{Im}f=\{h\in H \vert h=f(g),g\in G \}$です。
次の命題より $\mathrm{Ker}f$は$G$の部分群であり、 $\mathrm{Im}f$は$H$の部分群となります。後にみるように $\mathrm{Ker}f$は正規部分群になります。なお、 $\mathrm{Im}f$は$H$の部分群ですが必ずしも正規部分群であるとはかぎりません。

命題 3.1.46
2つの群$G,H$の間の準同型 $f:G\longrightarrow H$に対し
（1） $\mathrm{Ker}f$は$G$の正規部分群である。
（2） $\mathrm{Im}f$は$H$の部分群である。
（3） $\mathrm{Ker}f=\{e_G\}\Longleftrightarrow f:単射$

証明
（1） $g_1,g_2\in \mathrm{Ker}f$に対し $f(g_1g_2^{-1})=f(g_1)f(g_2)^{-1}=e_{H}$より $g_1g_2^{-1}\in \mathrm{Ker}f$である。よって、 $\mathrm{Ker}f$は部分群であることが分かった。
正規部分群であることは、任意の$g\in G$と任意の $k\in\mathrm{Ker}f$に対し、 $f(gkg^{-1})=f(g)f(k)f(g)^{-1}=f(g)f(g)^{-1}=e_H$であり $gkg^{-1}\in\mathrm{Ker}f$となることから分かる。
（2） $h_1h_2\in\mathrm{Im}f$に対し、 $\mathrm{Im}$の定義よりある $g_1,g_2\in G$が存在して $h_1=f(g_1),h_2=f(g_2）$となる。したがって、 $h_1h_2^{-1}=f(g_1)f(g_2^{-1})=g(g_1g_2^{-1})$であるため、 $h_1h_2^{-1}\in\mathrm{Im}f$である。よって、 $\mathrm{Im}f$は$H$の部分群となる。
（3） $\mathrm{Ker}f=\{e_G\}$とする。 $f(g_1)=f(g_2）$とすると、 $f(g_1g_2^{-1})=e_H$であるため、 $g_1g_2^{-1}\in \mathrm{Ker}f$である。したがって、 $g_1g_2^{-1}=e_G$であり$g_1=g_2$となる。これは$f$が単射であることを意味している。
逆に$f$が単射であると仮定すると $\mathrm{Ker}f$は空集合又は1元からなる集合となるが、 $e_G\in \mathrm{Ker}f$であるため、 $\mathrm{Ker}f=\{e_G\}$である。

例 3.1.47
自然数$m$を固定し、 $\mathbb{Z}$から $\mathbb{Z}$への$m$倍写像$f_m$を考えます。

$$\begin{array}{rccc} f_m : & \mathbb{Z}& \longrightarrow & \mathb... ...$\in$} & & \rotatebox{90}{$\in$} [-4pt] & n & \longmapsto & mn \end{array}$$

すると、$f_m$は加群 $\mathbb{Z}$から加群 $\mathbb{Z}$への準同型写像となります。実際、 $n_1,n_2\in\mathbb{Z}$とすると $f_m(n_1+n_2)=m(n_1+n_2)=mn_1+mn_2=f_m(n_1)+f_m(n_2)$です。

$\mathrm{Ker}f=\{n\in \vert mn=0\}=\{0\}$ですので$f$は単射です。

群$G$の正規部分群を$N$とします。すると、定理3.1.35より$G/N$は群$G$の演算から自然に導入される演算により群となります。また、群$G$の元$g$に対し剰余類$gN$を対応させることにより、$G$から$G/N$への写像$\pi$が定義されます。この写像を$G$から$G/N$への自然な写像ということがあります。$\pi$は準同型写像となります。

命題 3.1.48
$G$を群、$N$をその正規部分群とすると$G$から$G/N$への自然な写像$\pi$は次の性質を満たす。
（1）$\pi$は準同型写像
（2）$\pi$は全射
（3） $\mathrm{Ker}\pi=N$

つまり、自然な写像 $\pi:G\longrightarrow G/N$は $N=\mathrm{Ker}\pi$とする全射準同型写像です。

$G,H$を2つの群とし$f$を$G$から$H$への準同型写像とすると、 $\mathrm{Ker}f$は$G$の正規部分群です。したがって、$G$から $G/\mathrm{Ker}f$への自然な全射準同型写像$\pi$が定義されます。

一方、準同型写像 $f:G\longrightarrow H$は、剰余群 $G/\mathrm{Ker}f$から$H$への写像 $\overline{f}$を次のように定義できます。

$$\begin{array}{rccc} \overline{f}:& G/\mathrm{Ker}f & \longrightar... ...tebox{90}{$\in$} [-4pt] & g\mathrm{Ker}f & \longmapsto & f(g) \end{array}$$

$\overline{f}$がwell-definedであること、つまり、剰余類の代表元の取り方に依らないことは次のように分かります。 $g_1\mathrm{Ker}f=g_2\mathrm{Ker}f$とすると、 $g_1=g_2k,k\in\mathrm{Ker}f$です。すると、 $f(g_1)=f(g_2k)=f(g_2)f(k)=f(g_2)$（ $\because k\in\mathrm{Ker}f$)。よって、剰余類の代表元の取り方に依らずに$f(g）$が定義されます。

次の定理は、準同型写像 $f:G\longrightarrow H$から定義される準同型写像 $\pi:G\longrightarrow G/\mathrm{Ker}f$, $\overline{f}:G/\mathrm{Ker}f\longrightarrow H$が整合的であること、更に、 $G/\mathrm{Ker}f$が $\mathrm{Im}f$と同型であることを示す、大変重要な定理です。

定理 3.1.49 (準同型定理)
2つの群$G,H$の間の準同型写像を $f:G\longrightarrow H$とすると、準同型写像 $\pi:G\longrightarrow G/\mathrm{Ker}f$及び $\overline{f}:\overline{f}:G/\mathrm{Ker}f\longrightarrow H$に対し $f=\overline{f}\circ\pi$が成り立つ。つまり、次が可換図式となる。

$$\xymatrix{ G \ar@{->}[r]^{f}\ar@{->}[d]_{\pi}\ar@{}[dr]_(0.3)\circlearrowleft & H \\ G/\mathrm{Ker}f \ar@{->}[ru]_{\overline{f}} & \\ }$$

また $\overline{f}$を $G/\mathrm{Ker}f$から $\mathrm{Im}H$への写像と考えると同型写像となる。

$$\overline{f}:G/\mathrm{Ker}f\cong\mathrm{Im}H$$

例 3.1.50
自然数$m$を固定し、整数 $\mathbb{Z}$から複素数 $\mathbb{C}^\times$への写像$f_m$を

$$\begin{array}{rccc} f_m : & \mathbb{Z}& \longrightarrow & \mathb... ... [-4pt] & n & \longmapsto & \exp{\textstyle{\frac{2n\pi i}{m}}} \end{array}$$

で定義します。すると、任意の整数 $n_1,n_2\in\mathbb{Z}$に対し

$$f_m(n_1+n_2)=\exp{\textstyle{\frac{2(n_1+n_2)\pi i}{m}}}=\exp{\te... ...yle{\frac{2n_1\pi i}{m}}}\exp{\textstyle{\frac{2n_2\pi i}{m}}}=f_m(n_1)f_m(n_2)$$

です。これにより、$f_m$は、加群 $\mathbb{Z}$から $\mathbb{C}^\times$への準同型写像になります。

$\mathrm{Ker}f_m=\{n\in \mathbb{Z}\vert \exp{\textstyle{\frac{2n\pi i}{m}}}=1\}=\{n\in\mathbb{Z}\vert nはmの倍数\}=m\mathbb{Z}$です。また、 $\mathrm{Im}f_m$は$1$の$m$乗根全体 $\mathbb{C}^\times_m=\{ z\in\mathbb{C}\vert z^m=1\}$となります。

これにより、

$$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\cong \mathbb{C}^\times_m$$

が分かります。