3.2.2 イデアル

群

の正規部分群を

とすると

は群となります（準同型定理)。本項では、イデアルを定義しますが、イデアルとは、環における"正規部分群"に対応するものです。イデアルの典型例としては、整数環 $\mathbb{Z}$ におけるイデアルや多項式環のイデアルがあります。

定義 3.2.10
環

の部分集合

が次の条件を満たす場合、

をイデアル（ideal）という。
（1）

を加法群と考えた場合、

は部分群となる。
（2）任意の $r\in R$ に対し、 $rI\subset I$

定義 3.2.11
環

の元 $r_1,r_2,\cdots,r_s$ に対し、 $(r_1,r_2,\cdots,r_s)=r_1R+r_2R+\cdots r_sR$ とすると、 $(r_1,r_2,\cdots,r_s)$ は $r_1,r_2,\cdots,r_s$ を含む

の最小のイデアルとなり、 $(r_1,r_2,\cdots,r_s)$ を $r_1,r_2,\cdots,r_s$ から生成される（generated）といい、 $r_1,r_2,\cdots,r_s$ を生成元（generator）であるという。
また、

のイデアルのうち

の有限個の元により生成されるイデアルを有限生成イデアル（finitely generated ideal、

の1元から生成されるイデアルを単項イデアル（principal ideal）という。

整数環 $\mathbb{Z}$ や多項式環 $\mathrm{K}[\mathrm{X}]$ のイデアルは、全て、有限生成イデアルであり、かつ、（生成元が複数である場合はそれらの最大公約数1元を生成元とする）単項イデアルです（ 2.1.4、2.2.6参照）。

を環

のイデアルとします。このとき、

の2つの元

に対し、 $r_1-r_2\in I$ のとき $r_1\sim r_2$ とすると $\sim$ は

の同値関係となることが分かります（3.1.6参照）。この同値関係に対する、商集合を

と記載し、商集合

の元のことを剰余類といいます。

を加群と考えたと

は正規部分群と考えられますが（アーベル群の部分群は常に正規部分群です。）、

はこのように考えた場合の商群です。したがって、群となりますが、

は環となることがわかります。

を商環（quotient ring）といいます。

には商群と同様に、次のように演算が定義されます。

の元 $\overline{r_1},\overline{r_2}$ に対し、

念のため、 $\overline{r_1}\cdot\overline{r_2}=\overline{r_1\cdot r_2}$ のwell-definedを確認してみましょう。（加法については、既に確認しています。）

well-definedであることとは、上の演算が剰余類 $\overline{r_1},\overline{r_2}$ の代表元の取り方に依らないことを示すことです。ここで、 $\overline{r_1}=\overline{r'_1},\overline{r_2}=\overline{r'_2}$ とすると、剰余類の定義より $r_1=r'_1+i_1,r_2=r'_2+i_2,(i_1,i_2\in I)$ と分かります。すると、 $r_1\cdot r_2=r'_1\cdot r'_2+(Iの元)$ となります。したがって、 $\overline{r_1\cdot r_2}=\overline{r'_1\cdot r'_2}$ である。よって、 $\overline{r_1}\cdot\overline{r_2}=\overline{r_1\cdot r_2}$ は、剰余類の代表元の取り方に依らずwell-definedであることが分かりました。このように、

には

の演算から自然に演算が導入されることが分かります。

定理 3.2.12

を環

を

のイデアルとすると、

は環となる。