2.2.7 因数分解の一意性

因数分解の一意性を示します。これは、素因数分解の一意性と同じ証明です。ポイントとなる定理は次の定理です。

定理 2.2.19
既約多項式 $p(\mathrm{X})$ が多項式 $f(\mathrm{X})g(\mathrm{X})$ を割り切るとき、 $p(\mathrm{X})$ は、 $f(\mathrm{X})$ または $g(\mathrm{X})$ を割り切る。

証明

仮に $p(\mathrm{X})\nmid f(\mathrm{X})$ とすると $p(\mathrm{X})$ は既約多項式であるため $p(\mathrm{X})$ は $f(\mathrm{X})$ と互いにとなる。同様に $p(\mathrm{X})\nmid g(\mathrm{X})$ とすると、 $p(\mathrm{X})$ は $f(\mathrm{X})$ と互いにそとなる。したがって、定理 2.2.16より、 $a_1(\mathrm{X})p(\mathrm{X})+b_1(\mathrm{X})f(\mathrm{X})=1,a_2(\mathrm{X})p(\mathrm{X})+b_2(\mathrm{X})g(\mathrm{X})=1$ となる、 $a_1(\mathrm{X}),a_2(\mathrm{X}),b_1(\mathrm{X}),b_2(\mathrm{X})\in \mathrm{K}[\mathrm{X}]$ が存在する。
そして、この2つの式をかけ合わせると、 $A_1(\mathrm{X})p(\mathrm{X})+B(\mathrm{X})f(\mathrm{X})g(\mathrm{X})=1$ となる多項式 $A_1(\mathrm{X}),B_1(\mathrm{X})\in \mathrm{K}[\mathrm{X}]$ が存在することが分かる。これにより、再び定理 2.2.16より、 $p(\mathrm{X}),f(\mathrm{X})g(\mathrm{X})$ は互いに素であることが分かるが、これは、 $p(\mathrm{X})$ が多項式 $f(\mathrm{X})g(\mathrm{X})$ を割り切るという仮定に矛盾する。したがって、 $p(\mathrm{X})$ は、 $f(\mathrm{X})$ または $g(\mathrm{X})$ を割り切ることが分かかる。

例えば、 $\mathrm{X}^2+2\mathrm{X}+1=(\mathrm{X}+1)^2=(-\mathrm{X}-1)^2$ ですので因数分解の一意性が成り立ちませんので、既約式をモニックに限定する必要があります。整数でも

に対応します。

定理 2.2.20
$\mathrm{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ とする。
このとき、 $\mathrm{K}$ 係数多項式 $f(\mathrm{X})\in \mathrm{K}[\mathrm{X}]$ に対し、モニックな既約多項式 $P_i^{n_i}(\mathrm{X})\in \mathrm{K}[\mathrm{X}]$ が存在して

$\displaystyle f(\mathrm{X})=aP_1^{r_1}(\mathrm{X})P_2^{r_2}(\mathrm{X})\cdots P_n^{r_n}(\mathrm{X})$

と分解でき、この分解は一意的である。