2.1.4 整数のイデアル

整数 $n_1,n_2\cdots,n_k$に対し、 $\mathbb{Z}$の部分集合 $(n_1,n_2,\cdots,n_k)_{\mathrm I}$を、

$$(n_1,n_2,\cdots,n_k)_{\mathrm I}=\{ a_1n_1+a_2n_2+\cdots+a_kn_k \vert a_1,a_2,\cdots,a_k\in \mathbb{Z}\}$$

で定義します。

$k=1$のときは、 $(n)_{\mathrm I}=\{an \vert a\in\mathbb{Z} \}$であり$n$の倍数の集合と一致します。 $(n,m)_{\mathrm I}$という記号は通常は使いません。通常は、単に$(n,m)$と記載しますが、$(n,m)$は最大公約数を意味していますので、 $\mathbb{Z}$の部分集合である $(n,m)_{\mathrm I}$と混乱しないように記号を分けました。しかし、次の定理より $(n,m)_{\mathrm I}$と最大公約数$(n,m)$は実質的に同じものであることが分かりますので、 $(n,m)_{\mathrm I}$の代わりに$(n,m)$と記載しても混同する心配はほとんどありません。

定理 2.1.19
整数 $n_1,n_2,\cdots,n_k$に対し、
（1） $x,y\in (n_1,n_2,\cdots,n_k)_{\mathrm I}$のとき、 $x+y\in (n_1,n_2,\cdots,n_k)_{\mathrm I}$
（2） $x \in (n_1,n_2,\cdots,n_k)_{\mathrm I},a\in \mathbb{Z}$のとき、 $ax\in (n_1,n_2,\cdots,n_k)_{\mathrm I}$
（3） $n_1,n_2,\cdots,n_k$の最大公約数を$d$とすると、 $(n_1,n_2,\cdots,n_k)_{\mathrm I}=(d)_{\mathrm I}$
（4） 仮に $(n_1,n_2,\cdots,n_k)_{\mathrm I}=(m)_{\mathrm I}$であった場合、$m$は $n_1,n_2,\cdots,n_k$の最大公約数又は最大公約数を負にしたものである。

証明
（1） $x,y\in (n_1,n_2,\cdots,n_k)_{\mathrm I}$とすると、 $x=a_1n_1+a_2n_2+\cdots+a_kn_k,y=b_1n_1+b_2n_2\cdots+b_kn_k$となる $a_i,b_i\in\mathbb{Z}$が存在する。すると、 $x+y=(a_1+b_1)n_1+(a_2+b_2)n_2+\cdots+(a_k+b_k)n_k$であり、 $(a_i+b_i)\in\mathbb{Z}$ですので、 $x+y\in (n_1,n_2,\cdots,n_k)_{\mathrm I}$
（2） また、 $ax=aa_1n_1+aa_2n_2+\cdots+aa_kn_k$であり $aa_i\in\mathbb{Z}$ですので、 $ax\in (n_1,n_2,\cdots,n_k)_{\mathrm I}$
（3） $k=1$のときは明らか。
また、$k=2$のときは定理2.1.17より成立している。 $k>3$のときは数学的帰納法を用いて証明することもできますし、定理2.1.17が3つ以上の整数に対しても成立していることからも分かります。
（4） $(d)=(m)$とすると、定義より、 $d=a_1m,m=a_2d,a_i\in \mathbb{Z}$であるが、このようなことが成立するのは、$a_1,a_2$が$\pm 1$のときに限る。よって、証明された。

つぎに $(n,m)_{\mathrm I}$を一般化したイデアルを定義しましょう。 $\mathbb{Z}$のイデアルは $(n)_{\mathrm I}$形をしていることが分かります。

定義 2.1.20
$\mathbb{Z}$の部分集合 ${\mathrm I}$で次の性質を持つものを $\mathbb{Z}$のイデアル(ideal)であるという。
（1） $x\in {\mathrm I},k\in \mathbb{Z}\Rightarrow kx\in {\mathrm I}$
（2） $x,y\in {\mathrm I} \Rightarrow x+y\in {\mathrm I}$

定義の（1）は ${\mathrm I}$を整数倍しても ${\mathrm I}$に含まれることを意味しています。また、（2）は ${\mathrm I}$が加法について閉じていることを意味しています。 （1）により、必ず0は ${\mathrm I}$に含まれることが分かります。また、仮に$1$が ${\mathrm I}$に含まれていると仮定すると ${\mathrm I}=\mathbb{Z}$となります。

Remark 2.1.21
$x\in {\mathrm I}$に対し定義（1）より $-x\in {\mathrm I}$と分かります。定義（2）と考え合わせると、 $\mathbb{Z}$を加法群と考える場合 ${\mathrm I}$は $\mathbb{Z}$の部分群になります。逆に、 $\mathbb{Z}$を加法群と考えるときの $\mathbb{Z}$の部分群はイデアルになります。

このように、 $\mathbb{Z}$の部分群と $\mathbb{Z}$のイデアルは同じものになります。しかし、一般的に環のイデアルは環の部分集合として定義されますが、環の加法群の部分群が環のイデアルになるとは限りません。

例 2.1.22
$\mathbb{Z}$の部分集合$\{0\}$は定義2.1.20を満たしますのでイデアルです。$\{0\}$を零イデアルといいます。
$\mathbb{Z}$自身も $\mathbb{Z}$の部分集合であり、定義2.1.20を満たしますのでイデアルです。
これらを $\mathbb{Z}$の自明なイデアルといいます。

例 2.1.23
定理2.1.19より ${\mathrm I}=(n_1,\cdots,n_k)_{\mathrm I}$はイデアルです。

定義 2.1.24
イデアル ${\mathrm I}$が $(n_1,\cdots,n_k)_{\mathrm I}$と一致する場合、イデアル ${\mathrm I}$は、 $n_1,\cdots,n_k$から生成される（generated）といい、 $n_1,\cdots,n_k$をイデアル ${\mathrm I}$の生成元（generator）であるという。有限個の生成元から生成されるイデアルを有限生成イデアル（finitely generated ideal）、1つ元から生成されるイデアルを単項イデアル（principal ideal）という。

例 2.1.25
$\mathbb{Z}$の自明なイデアルである $\mathbb{Z}$は、 $\mathbb{Z}=(1)_{\mathrm I}$ですので単項イデアルです。
同様に、零イデアル$\{0\}$は $(0)_{\mathrm I}$ですので単項イデアルです。

定理2.1.19により、 $\mathbb{Z}$における有限生成イデアルは、単項イデアルであることが分かります。次の定理は、 $\mathbb{Z}$の全てのイデアルが単項イデアルであることを示しています。

定理 2.1.26
$\mathbb{Z}$のイデアル ${\mathrm I}$に対し整数$n$が存在し、 ${\mathrm I}$は$n$から生成される。この場合、 ${\mathrm I}$の生成元は$\pm n$に限る。

証明
零イデアル ${\mathrm I}=\{0\}$の場合は明らか。零イデアル以外のイデアル ${\mathrm I}$には必ず正の元が含まれている。（ ${\mathrm I}$の元を$-1$倍しても ${\mathrm I}$に含まれるため。） ${\mathrm I}$の正の元でもっとも小さい元を$n$とするとき、 ${\mathrm I}=(n)$であることを以下証明する。
$m\in {\mathrm I}$とし、$n$と$m$の最大公約数を$d$とすると定理2.1.17より$d=an+bm$となる整数$a,b$が存在しますが、イデアルの定義より $d\in {\mathrm I}$となります。$d$は最大公約数であるため$n$以下であり、他方、$n$は最小数であるため$n\leqq m$。したがって$d=n$。よって、$n$と$m$の最大公約数が$m$であり、これは$n$が$m$の倍数であることを意味する。よって、 ${\mathrm I}=(n)$であることが証明された。
後段は、定理2.1.19により証明されている。

Remark 2.1.27
一般論として、イデアルは環において定義されます。イデアルは常に有限生成とは限りませんし、有限生成イデアルが単項イデアルになるわけでもありません。
しかし、ユークリッド整域においては、全てのイデアルは単項イデアルになります。

例 2.1.28
$(2,3)_{\mathrm I}=\{ 2a_1+3a_2 \vert a_1,a_2\in\mathbb{Z} \}=\mathbb{Z}$

以上のとおり、 $\mathbb{Z}$のイデアルは常に有限生成であり、また、生成元は最大公約数になることがわかります。つまり、

$${\mathrm I}=(n_1,n_2,\cdots,n_k)_{\mathrm I}=(d)_{\mathrm I}$$

です。ここで、 $d=(n_1,n_2,\cdots,n_k)$です。このように、イデアル $(n_1,n_2,\cdots,n_k)_{\mathrm I}$と最大公約数 $(n_1,n_2,\cdots,n_k)$は同視することができるため、通常、イデアルの記号には ${}_{\mathrm I}$を付さずに単に $(n_1,n_2,\cdots,n_k)$と記載します。このように、記載してもこれが最大公約数を意味するのか、最大公約数から生成されるイデアルを意味するのかは、通常、前後の文脈から明らかであるため特に混乱することはありません。