3.1.8 準同型と同型

この講では、2つの群$G$と$H$の間の準同型写像と同型を学びます。写像についての基礎知識は、1.2.2参照。

定義 3.1.36 (準同型)
群$G$から群$H$への写像 $f:G\longrightarrow H$が任意の $g_1,g_2\in G$に対し次の条件を満たすとき、$f$は準同型写像（homomorhism)であるといいます。

$$f(g_1g_2)=f(g_1)f(g_2)$$

$f(g_1g_2)=f(g_1)f(g_2)$は、群$G$の演算を$f$により演算が保たれてたまま$H$に写されることを意味します。

命題 3.1.37
$f$を群$G$から群$H$への準同型とすると$f$は$G$の単位元$e_{G}$を$H$の単位元$e_{H}$に写す。つまり、 $f(e_{G})=e_{H}$

証明
$f(e_{G})=f(e_{G}e_{G})=f(e_{G})^2$ですので、 $f(e_{G})^{-1}$を右から（または左から）かけると $e_H=f(e_{G})$です。

命題 3.1.38
$f:G\longrightarrow H,g:H\longrightarrow I$を、群$G,H,I$間の準同型であるとすると、合成写像 $g\circ f:G\longrightarrow I$も準同型となる。

証明
任意の $g_1,g_2\in G$に対し $g\circ f(g_1g_2)=g(f(g_1g_2))=g(f(g_1)f(g_2))=g(f(g_1))g(f(g_2))=g\circ f(g_1)g\circ f(g_2)$より、$g\circ f$は準同型である。

定義 3.1.39
$G$から$H$への準同型写像$f$が全単写である場合、$f$を同型写像（isomorphism）という。このとき群$H$と群$G$は同型（isomorphic）であるといい、$H\cong G$と記載する。群として同型であることを明確にするために、群同型ともいうことがある。また、同型写像$f$を明示するために、 $G\underset{f}{\cong} H$と記載することがあります。

例 3.1.40
群$G$に対し恒等写像 $\mathrm{id}_G:G\longrightarrow G$は、$G$から$G$への同型写像である。

命題 3.1.41
同型写像の逆写像は同型写像である。

証明
$f$を$G$から$H$への同型写像とすると $h_1,h_2\in H$に対し $f^{-1}(h_1)=g_1,f^{-1}(h_2)=g_2$とおく。 $f(g_1g_2)=f(g_1)f(g_2)=h_1h_2$であるため、 $f^{-1}(h_1h_2)=g_1g_2=f^{-1}(h_1)f^{-1}(h_2)$である。よって、$f^{-1}$が準同型であることが示せた。$f$は全単射であるため、$f^{-1}$も全単射である。よって、$f^{-1}$は同型写像である。

定理 3.1.42
同型は群の間の同値関係となる。

証明
恒等写像は$G$から$G$への同型写像であるため、$G\cong G$（対称律）
同型写像の逆写像も同型写像であるため、$G\cong H$であるとき$H\cong G$である。（反射律）
同型写像と同型写像の合成は同型写像であるため、 $G\cong H,H\cong K$のとき$G\cong K$（推移律）

例 3.1.43
位数$n$の巡回群 $\textless g\textgreater$と $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$は、

$$\begin{array}{rccc} f:& \textless g\textgreater& \longrightarrow... ...in$} & & \rotatebox{90}{$\in$} [-4pt] & g^m & \longmapsto & m \end{array}$$

により同型になります。（確かめてみましょう。）

位数$n$の任意の巡回群は $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$と同型となりますので、位数$n$の巡回群は全て同型になります。

Remark 3.1.44
準同型 $f:G\longrightarrow H$が単写であるとき、$G$は$H$に埋め込まれているといい、$f$を埋め込み写像（emmbeding mapping）ということがあります。これは、$f$が単写であることから、$G$と$f(G)$が同型となりますが、$f(G)$は$H$の部分群となることから、あたかも$G$は$H$の部分群と同視できることに由来します。