3.1.4 合同類

この講では有限群の具体例をみていきましょう。

自然数$n$を固定し$n$を法とする合同類を考えましょう。整数$a$に対し$a$を含む合同類 $\overline{a}$とは$n$を法として$a$と合同な整数からなる 集合、つまり、 $\overline{a}=\{ b\in \mathbb{Z} \vert b\equiv a \pmod n \}$を意味します。すると、合同類に加法が定義されます(合同類の演算参照）。次の定理のように合同類は加法に関し位数$n$の巡回群になります。

定理 3.1.18
$n$を自然数とすると、$n$を法とする合同類は加法に関し位数$n$の巡回群になる。

証明
（i）群となること、（ii)位数が$n$であること、（iii）巡回群であることの順に示します。
(i)$n$を法とする合同類が群になること
$n$を法とする合同類を $\overline{a},\overline{b}$とするとその和は $\overline{a+b}$で定義されますので、加法により閉じています（条件0）。また、$a+b$は整数の和ですので結合法則が成り立ちます。その結果、合同類の和も結合法則が成り立ちます（条件1）。
0を代表元とする合同類 $overline{0}$は、任意の合同類 $\overline{a}$に対し $\overline{0}+\overline{a}=\overline{a}+\overline{0}=\overline{a}$が成り立ちますので、 $overline{0}$は単位元です（条件2）。
合同類 $\overline{a}$に対し、 $\overline{a}+\overline{(-a)}=\overline{0}$が成り立ちますので、 $\overline{(-a)}$が逆元となり、任意の元に対し常に逆元が存在します（条件3）。
よって、合同類は群となります。
(ii)位数$n$であること
整数は、 $\overline{0},\overline{1},\cdots,\overline{n-1}$のn個の合同類のいずれかに分類され、かつ、これらは異なりますので、合同類の元はn個あることが分かります。
(iii)巡回群であること
$\overline{1}+\overline{1}=\overline{2}$であり、 $\overline{1}$を$m$個足すと $\overline{m}$となり、合同類は $\overline{1}$により生成されるこが分かる。

定義 3.1.19
自然数$n$を固定するとき、$n$を法とする合同類を $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$と記載する。

Remark 3.1.20
位数$n$の巡回群は全て $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$と同型であることが分かりますので、位数$n$の巡回群は同型を同一の群と考えると一つしかありません。