2.4.3 合同類の演算

この講では合同類に演算（ $+,-,\times$)が定義できることを見ていきましょう。 自然数$n$を固定します。このとき、$n$を法とする2つ合同類 $\overline{a},\overline{b}$の和 $\overline{a}+\overline{b}$を

$$\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$$

で定義します。 また、 $\overline{a}$と $\overline{b}$の積 $\overline{a}\cdot\overline{b}$を

$$\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{ab}$$

で定義します。

このように定義しても矛盾ないことを、つまり、well-definedであることを確認する必要があります。

well-definedとは"矛盾なく定義されている"ということです。 $\overline{a}+\overline{b}$を $\overline{a+b}$と定義しましたが、この右辺が合同類 $\overline{a},\overline{b}$の代表元の取り方に依存しないことを示す必要があります。

このことをもう少し丁寧にみていきましょう。$n$を法とする合同類を1つとり、それを$C$とおきます。すると、合同類の定義より$C$はある代表元$a$が存在して $C=\overline{a}$と表されます。同様にもう一つの合同類$D$をとりこの代表元を$b$とすると $D=\overline{b}$と表されます。このとき、$C+D$を $\overline{a+b}$で定義するのですが、$C$の代表元や$D$の代表元として別の代表元をとってきても$C+D$が同じ合同類となるかを確認する必要があります。つまり、$C+D$が$C$と$D$の代表元の取り方に依存しないことがwell-definedであることになります。

代表元の取り方を代えて $C=\overline{a}=\overline{a'},D=\overline{b}=\overline{b'}$のとき、 $\overline{a+b}=\overline{a'+b'}$であるか場合、$C+D$の定義は$C,D$の代表元の取り方に依存せずに、well-definedであることになります。これは、命題2.4.4そのものです。よって、well-definedであることが分かりました。

同様に、合同類の差を

$$\overline{a}-\overline{b}=\overline{a-b}$$

で定義すると、同様の方法でこの定義はwell-definedであることが分かります。

例 2.4.13
$n=6$として$6$を法とする合同類を考えます。
（1） $\overline{2}+\overline{3}=\overline{5}$
（2） $\overline{2}-\overline{3}=\overline{-1}=\overline{5}$
（3） $\overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{6}=\overline{0}$
です。（1）と（2）の右辺が等しくなるのは、 $3\equiv -3\pmod 6$であるため $\overline{3}=\overline{(-3)}$だからです。

ここで、 $+,-,\times$が定義しました、除算（割り算）はどうでしょうか。次の例をみてみましょう。

例 2.4.14
$n=6$とし、法$6$の合同類で $\overline{2}$との積を考えてみます。
・     $\overline{2}\cdot\overline{0}=\overline{0}$
・     $\overline{2}\cdot\overline{1}=\overline{2}$
・     $\overline{2}\cdot\overline{2}=\overline{4}$
・     $\overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{0}$
・     $\overline{2}\cdot\overline{4}=\overline{2}$
・     $\overline{2}\cdot\overline{5}=\overline{4}$

このとおり、 $\overline{2}$は、何をかけても $\overline{1}$にならないことが分かります。つまり、 $\overline{1}\div\overline{2}$が存在しないことが分かります。

これはなぜでしょうか。うえの式をみると、 $\overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{6}=\overline{0}$のように0でないものどおしをかけて0になることがわかります。 このように、0でないものどおしをかけ算することによって0になるものを零因子（ゼロインシ)といいます。つまり、$\mod{6}$の世界では、零因子が存在します。(一般的には、零因子は環において定義されます。）

定義 2.4.15
環$R$の0でない元$a$に対し、0でない元$b$で $a\cdot b=0$となる場合、$a$を零因子（zero divisor）という。

零因子が存在する場合、除算が定義できません。$a$が零因子である、つまり $a\times b=0$となる0でない$b$が存在するとします。このとき、$a^{-1}$が存在するとすると、 $a\times a^{-1}=1$ですが、両辺に$b$をかけると、左辺= $b\times a\times a^{-1}=0$となります。一方、右辺=$b$です。これは、$b=0$となり$b$の定義に矛盾します。したがって、零因子には逆元が定義できないことが分かります。
それでは、除法（割り算)が定義できるのはどのような場合でしょうか。零因子がある場合は除法は定義できないことが分かりましたが、どのような場合に零因子があるのでしょうか。

上の例では、$\mod{6}$では、零因子は $\overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{0}$となります。このように、$\mod{n}$の場合は、$n$の約数は零因子となってしまいます。それでは、約数が（1と自分自身以外に)存在しない場合、つまり、素数の場合はどうでしょうか。

例 2.4.16
$\mod 5$の0以外の元の逆元は次のとおりです。

表: $\mod 5$の逆元

$a$	1	2	3	4
$a^{-1}$	1	3	2	4

例 2.4.17
$\mod 7$の0以外の元の逆元は次のとおりです。

表: $\mod 7$の逆元

$a$	1	2	3	4	5	6
$a^{-1}$	1	4	5	2	3	6

このように、 $\mod{5}\mod{7}$の世界では、0以外全て逆元をもつ、つまり、割り算が定義できることがわかります。

定理 2.4.18
$p$を素数とすると、$p$を法とする0でない合同類 $\overline{a}$に対し、合同類 $\overline{b}$が存在して $\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{1}$とできる。

証明
$p$は素数であり、 $a\ne 0\pmod{p}$であるため、$a,p$は互いに素である。このとき、定理2.1.17より、整数$n,m$が存在して$an+pm=1$とできる。
すると、この式の$\mod{p}$をとると、 $an\equiv 1\pmod{p}$である。これは、 $\overline{a}\cdot\overline{n}=\overline{1}$であることを意味している。

この定理は$p$素数のとき、$mod p$では割り算が定義できることを意味しています。